Question

【題目】已知橢圓C： (a>b>0)過點(1， )，且離心率e＝.

(Ⅰ)求橢圓C的標準方程；

(Ⅱ)若直線l：y＝kx＋m與橢圓C相交于A，B兩點(A，B不是左右頂點)，橢圓的右頂點為D，且滿足·＝0，試判斷直線l是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2) 直線過定點(，0)

【解析】試題分析：（Ⅰ）由e＝可得，利用，把點(1， )代入橢圓方程，即可得出橢圓C的標準方程；（Ⅱ）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯立，得到根與系數的關系，利用，得到kAD·kBD＝－1，即可得出結論.

試題解析：(Ⅰ)由題意橢圓的離心率e＝.

∴

∴a＝2c

∴b2＝a2－c2＝3c2

∴橢圓方程為

又∵點(1， )在橢圓上

∴

∴c2＝1

∴橢圓的方程為

(Ⅱ)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，

Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0,3＋4k2－m2>0，則x1＋x2＝，x1·x2＝

∴y1·y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝

∵

∴kAD·kBD＝－1

又∵橢圓的右頂點D(2,0)，

∴，則y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0

，7m2＋16mk＋4k2＝0，解得

m1＝－2k，m2＝，且滿足3＋4k2－m2>0

當m＝－2k時，l：y＝k(x－2)，直線過定點(2,0)與已知矛盾；

當m＝時，l：y＝k(x)，直線過定點(，0)．

綜上可知，直線l過定點，定點坐標為(，0).