Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為矩形，側面底面，，，，與平面所成的角為.

（1）證明：；

（2）求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點，利用面面垂直的性質定理可得出平面，可得出，并證明出，可得出，可證明出平面，由此可得出；

（2）由平面可得知為二面角的平面角，過點作，垂足為，連接、，可得出，利用幾何關系計算出和，即可計算出的值.

（1）如圖，取的中點，連接交于點，連接、.

，點為的中點，且.

又平面平面，平面平面，平面.

平面，又平面，.

又，，，.

又，平面，平面，平面.

平面，；

（2）由（1）可知平面，平面，，

又，就是二面角的平面角，

過點作，垂足為，連接、.

且，，平面，

平面，，

，，平面，

就是與平面所成的角，即，

又，，

又，，，，

又，，則.

故二面角的正切值是.