Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若有唯一零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；（2）或

【解析】

（1）首先確定函數(shù)定義域，求導(dǎo)后分別在和上討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而求得原函數(shù)的單調(diào)性；（2）將問題轉(zhuǎn)化為與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)的問題，通過數(shù)形結(jié)合的方式，可知當(dāng)或與相切時(shí)滿足題意；通過求解過某點(diǎn)的切線方程的求法可求得相切時(shí)的取值，從而得到結(jié)果.

（1）由題意可知，定義域?yàn)椋?/span>

由得：，

①當(dāng)時(shí)，，則 在上單調(diào)遞增

②當(dāng)時(shí)，令，解得：

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減

（2）

令，得：

則有唯一零點(diǎn)等價(jià)于與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)

由下圖可知：

當(dāng)或與相切時(shí)，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)

當(dāng)與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為：

則，解得：

綜上所述：或