Question

【題目】已知橢圓的離心率為分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，當時， 內切圓的半徑為.

(1)求橢圓的方程；

(2)已知直線與橢圓相較于兩點，且，當直線的斜率之和為2時，問：點到直線的距離是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 橢圓的方程為;(2)見解析.

【解析】分析：（1）依據題意，得到，又由，求得的值，即可得到橢圓的標準方程；

（2）直線與橢圓的方程的聯立，求得，由，代入整理，求得的值，再由點到直線的距離公式，設，即可求得距離的最大值，得到結論.

詳解：

(1)依題意： ,則，即

又,聯立解得： ，故，所以橢圓的方程為

(2)設,

聯立直線和橢圓的方程得： ,

當時有：

由得： ,即,

整理得： ,所以,

化簡整理得： ，代入得： ,

解之得： 或,

點到直線的距離,

設，易得或，則,

當時；當時， ,

若，則；若，則，當時，

綜上所述： ，故點到直線的距離沒有最大值.