Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）判定f（x）的奇偶性并證明；
（Ⅲ）用函數(shù)單調(diào)性定義證明：f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由1﹣x2≠0，得x≠±1，即f（x）的定義域{x|x≠±1}

（Ⅱ）f（x）為偶函數(shù)．

∵f（x）定義域關于原點對稱，且f（﹣x）=f（x）

∴f（x）為偶函數(shù)；

（III）證明：f（x）= = = ﹣1，

設1＜x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）= ﹣

=2（ ） ，

∵1＜x1＜x2，

∴x1﹣x2＜0，1﹣x2＜0，1﹣x1＜0，

則f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

則函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)

【解析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)成立的條件進行求解即可．（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行證明．（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關知識，掌握單調(diào)性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對函數(shù)的奇偶性的理解，了解偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱．