Question

設S_n等比數列{a_n}的前n項和，且a2=

1

9

，S2=

4

9

（1）求數列{a_n}的通項；
（2）設bn=

n

an

，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

（1）設首項為a₁，公比為q，由a₂=

1

9

，S₂=

4

9

，
得：

a1q= 1 9 a1+a1q= 4 9

，
解得：

a1= 1 3 q= 1 3

，
∴a_n=

1

3n

；．
（2）∵b_n=

n

an

=

n

1 3n

=n•3ⁿ，
∴S_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，①
∴3S_n=3²+2×3³+3×3⁴+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，②
②-①得2S_n=n•3ⁿ⁺¹-（3+3²+3³+…+3ⁿ）=n•3ⁿ⁺¹-

3(1-3n)

1-3

=

(2n-1)×3n+1

2

+

3

2

，
∴S_n=

(2n-1)×3n+1

4

+

3

4

．