Question

【題目】我市物價監督部門為調研某公司新開發上市的一種產品銷售價格的合理性，對該公司的產品的銷售與價格進行了統計分析，得到如下數據和散點圖：

定價（元/）	10	20	30	40	50	60
年銷售	1150	643	424	262	165	86
	14.1	12.9	12.1	11.1	10.2	8.9

圖（1）為散點圖，圖（2）為散點圖.

（Ⅰ）根據散點圖判斷與，與哪一對具有較強的線性相關性（不必證明）；

（Ⅱ）根據（Ⅰ）的判斷結果和參考數據，建立關于的回歸方程（線性回歸方程中的斜率和截距均保留兩位有效數字）；

（Ⅲ）定價為多少時，年銷售額的預報值最大？（注：年銷售額定價年銷售）

參考數據：，，，，， ，，，

參考公式：，.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)答案見解析；(Ⅲ)定價為20元/時，年銷售額的預報值最大.

【解析】分析：（Ⅰ）由于圖（2）的點更集中在一條直線附近，所以與具有的線性相關性較強.（Ⅱ）利用最小二乘法求關于的回歸方程為. （Ⅲ）先得到，，再利用導數求定價為多少時年銷售額的預報值最大.

詳解：（Ⅰ）由散點圖知，與具有的線性相關性較強.

（Ⅱ）由條件，得，

，所以，

又，得，

故關于的回歸方程為.

（Ⅲ）設年銷售額為元，令，，

，

令，得；令，得，

則在單調遞增，在單調遞減，在取得最大值，

因此，定價為20元/時，年銷售額的預報值最大.