Question

【題目】已知函數 （其中ω＞0），若f（x）的一條對稱軸離最近的對稱中心的距離為 ．
（1）求y=f（x）的單調遞增區間；
（2）在△ABC中角A、B、C的對邊分別是a，b，c滿足（2b﹣a）cosC=ccosA，則f（B）恰是f（x）的最大值，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

= ，

∵f（x）的對稱軸離最近的對稱中心的距離為 ，

∴T=π，

∴ ，

∴ω=1，

∴ ．

∵ 得： ，

∴函數f（x）單調增區間為 ；

（2）解：∵（2b﹣a）cosC=ccosA，由正弦定理，

得（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C），

∵sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，2sinBcosC=sinB，

∴sinB（2cosC﹣1）=0，

∴ ，

∵0＜C＜π，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

∴ ，

根據正弦函數的圖象可以看出，f（B）無最小值，有最大值ymax=1，

此時 ，即 ，

∴ ，

∴△ABC為等邊三角形

【解析】﹙1﹚由三角函數公式化簡可得f（x）=sin（2ωx﹣ ），由題意可得周期T=π，可得ω=1，進而可得f（x）=sin（2x﹣ ），根據正弦函數的圖象和性質即可求出單調增區間；（2）由由正弦定理以及角的和差公式，求出 ，即C= ，根據正弦函數的性質，求出 ，即△ABC為等邊三角形．
【考點精析】通過靈活運用正弦定理的定義，掌握正弦定理:即可以解答此題．