Question

【題目】已知直線恒過定點，圓經過點和點，且圓心在直線上.

（1）求定點的坐標與圓的方程；

（2）已知點為圓直徑的一個端點，若另一個端點為點，問：在軸上是否存在一點，使得為直角三角形，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）存在，或.

【解析】

（1）可采用分離參數法求出直線恒過的定點，設圓的方程為，將兩點代入一般方程，又圓心過直線，故有，聯立求解即可；

（2）由為直徑對應的兩個端點，根據對稱關系先求得點，可判斷點在圓外，故直角存在兩種情況，以點為直角和以點為直角，結合兩直線垂直斜率之積為-1即可求得點

（1）由得，，

令，得，即定點的坐標為.

設圓的方程為，

由條件得，解得.

所以圓的方程為.

（2）圓的標準方程為，，設點關于圓心的對稱點為，則有，解得，，故點的坐標為.因為在圓外，所以點不能作為直角三角形的頂點，

若點為直角三角形的頂點，則有，

若點是直角三角形的頂點，則有，

綜上，或.