Question

【題目】設首項為a1的正項數列{an}的前n項和為Sn，q為非零常數，已知對任意正整數n，m，Sn+m＝Sm+qmSn總成立．

（1）求證：數列{an}是等比數列；

（2）若不等的正整數m，k，h成等差數列，試比較ammahh與ak2k的大小；

（3）若不等的正整數m，k，h成等比數列，試比較與的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）令n＝m＝1，得a2＝qa1，令m＝1，得Sn+1＝S1+qSn（1），從而Sn+2＝S1+qSn+1兩式相減即可得出an+2＝qan+1，進而可判斷出數列{an}是等比數列

（2）根據m，k，h成等差數列，可知m+h＝2k，進而可判定，進而根據等比數列的通項公式分q大于、等于和小于1三種情況判斷．

（3）正整數m，k，h成等比數列，則mh＝k2，判斷出，進而根據等差根據等比數列的通項公式分a1和q大于、等于和小于1三種情況判斷．

（1）證：因為對任意正整數n，m，Sn+m＝Sm+qmSn總成立，

令n＝m＝1，得S2＝S1+qS1，則a2＝qa1

令m＝1，得Sn+1＝S1+qSn（1），從而Sn+2＝S1+qSn+1（2），

（2）﹣（1）得an+2＝qan+1，（n≥1）

綜上得an+1＝qan（n≥1），所以數列{an}是等比數列

（2）正整數m，k，h成等差數列，

則m+h＝2k，

所以，

則

①當q＝1時，ammahh＝a12k＝ak2k

②當q＞1時，

③當0＜q＜1時，

（3）正整數m，k，h成等比數列，則mh＝k2，則，

所以，

①當a1＝q，即時，

②當a1＞q，即時，

③當a1＜q，即時，