Question

【題目】已知函數

（1）若不等式對任意的恒成立,求的取值范圍；

（2）當時,記的最小值為,正實數,,滿足,證明：.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析

【解析】

(1)根據化簡可得在時恒成立.再求解絕對值不等式,利用恒成立的方法求解即可.

(2)代入,將寫出分段函數分析得出最小值,再利用三元的平方和公式以及基本不等式證明,再同理證明即可.

(1)因為,故即,化簡可得在時恒成立.即或恒成立.

故或恒成立.

解得或.又,故.

綜上,

(2)由題, .

故當時, ；當時, ；當時, .

故的最小值為.即,要證明

可先證明：

因為

,即,

故,故.當且僅當時取等號.

設,則已知,要證.

同理

,即,

故,即,當且僅當時取等號.

綜上有當時,成立. 當且僅當時取等號.