Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）當函數有兩個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2).

【解析】分析：（1）先求導，再對a分類討論，求函數的單調區間. (2)對a分類討論，作出函數的圖像，分析出函數f(x)有兩個零點所滿足的條件，從而求出a的取值范圍.

詳解:（1）由題意得

①當時，令，則；

令，則，

∴在上單調遞減，在上單調遞增；

②當時，令，則或，

（ⅰ）當時，令，則或；

令，則，

∴在和上單調遞增，在上單調遞減；

（ⅱ）當時，，

∴在上單調遞增；

（ⅲ）當時，令，則或；

令，則，

∴在和上單調遞增，在上單調遞減；

（2）由（1）得當時，在和上單調遞增，在上單調遞減，

∴在處取得極大值，

∵，

∴此時不符合題意；

當時，在上單調遞增，

∴此時不符合題意；

當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；

∴的處取得極大值，

∵，

∴此時不符合題意；

當時，在上單調遞減，在上單調遞增，

∵，，

∴在上有一個零點，

（ⅰ）當時，令，當時，

∵，

∴在上有一個零點，

∴此時符合題意；

（ⅱ）當時，當時，，

∴在上沒有零點，此時不符合題意；

綜上所述，實數的取值范圍為.