Question

【題目】定義函數 ，其中x為自變量，a為常數． （I）若當x∈[0，2]時，函數fa（x）的最小值為一1，求a之值；
（II）設全集U=R，集A={x|f3（x）≥fa（0）}，B={x|fa（x）+fa（2﹣x）=f2（2）}，且（UA）∩B≠中，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）令t=2x，∵x∈[0，2]，∴t∈[1，4]，

設φ（t）=t2﹣（a+1）t+a，t∈[1，4]

1°當 ，即a≤1時，fmin（x）=φ（1）=0，與已知矛盾；

2°當 ，即 ，

解得a=3或a=﹣1，∵1＜a＜7，∴a=3；

3°當 ，即a≥7，fmin（x）=φ（4）=16﹣4a﹣4+a=1，

解得 ，但與a≥7矛盾，故舍去

綜上所述，a之值為3

（Ⅱ）UA={x|4x﹣42x+3＜0}={x|0＜x＜log23}

B={x|4x﹣（a+1）2x+a+42﹣x﹣（a+1）22﹣x+a=6}= ．

由已知（UA）∩B≠即 ﹣（a+1）（ ）+2a﹣6=0在（0，log23）內有解，

令t= ，則t∈[4，5），方程（t2﹣8）﹣（a+1）t+2a﹣6在[4，5）上有解，

也等價于方程 在t∈[4，5）上有解

∵ 在t∈[4，5）上單調遞增，

∴h（t）∈[﹣1，2）

故所求a的取值范圍是[﹣1，2）

【解析】（I）若當x∈[0，2]時，換元，得到φ（t）=t2﹣（a+1）t+a，t∈[1，4]，分類討論，利用函數fa（x）的最小值為﹣1，求a之值；（II）令t= ，則t∈[4，5），方程（t2﹣8）﹣（a+1）t+2a﹣6在[4，5）上有解，也等價于方程 在t∈[4，5）上有解，利用基本不等式，即可求a的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解集合的交集運算(交集的性質：（1）A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，則AB，反之也成立)，還要掌握函數的最值及其幾何意義(利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值)的相關知識才是答題的關鍵．