Question

【題目】如圖所示，該幾何體是由一個(gè)直三棱柱ADE﹣BCF和一個(gè)正四棱錐P﹣ABCD組合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．
（Ⅰ）證明：平面PAD⊥平面ABFE；
（Ⅱ）求正四棱錐P﹣ABCD的高h(yuǎn)，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是 ．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵幾何體是由一個(gè)直三棱柱ADE﹣BCF和一個(gè)正四棱錐P﹣ABCD組合而成，
∴AD⊥AF，AD⊥AB，
又AF∩AB=A，
∴AD⊥平面ABEF，
又AD平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABFE．
解：（Ⅱ）以A 為原點(diǎn)，AB、AE、AD的正方向?yàn)閤，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz
設(shè)正四棱棱的高為h，AE=AD=2，
則A（0，0，0），F(xiàn)（2，2，0），C（2，0，2），P（1，﹣1，1）
設(shè)平面ACF的一個(gè)法向量 =（x，y，z），
=（2，2，0）， =（2，0，2），
則 ，取x=1，得 =（1，﹣1，﹣1），
設(shè)平面ACP的一個(gè)法向量 =（a，b，c），
則 ，取b=1，則 =（﹣1，1，1+h），
二面角C﹣AF﹣P的余弦值 ，
∴|cos＜ ＞|= = = ，
解得h=1．

【解析】（Ⅰ）推導(dǎo)出AD⊥AF，AD⊥AB，從而AD⊥平面ABEF，由此能證明平面PAD⊥平面ABFE．（Ⅱ）以A 為原點(diǎn)，AB、AE、AD的正方向?yàn)閤，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，利用向量法能求出h的值．