Question

【題目】如圖1，在邊長為3的正三角形中， ， ， 分別為， ， 上的點，且滿足.將沿折起到的位置，使平面平面，連結， ， .（如圖2）

（Ⅰ）若為中點，求證： 平面；

（Ⅱ）求證： ；

（Ⅲ）求與平面所成角的正切.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（Ⅰ）取中點，連結， .由三角中位線可證四邊形為平行四邊形，則，再由線線平行到線面平行；（Ⅱ）取中點，連結，由所給數據可證平面平面，再由面面垂直，線面垂直的性質可得；（Ⅲ）作于，連接，則，可得為與平面所成角，可求其正切值．

試題解析：證明：（Ⅰ）取中點，連結， .

在中， ， 分別為， 的中點，

所以，且.

因為，

所以，且，

所以， .

所以四邊形為平行四邊形.

所以.

又因為平面，且平面，所以平面.

（Ⅱ）取中點，連結.

因為， ，

∴，

而，即是正三角形.

又因為，所以.

所以在圖2有.

因為平面平面，平面平面所以平面由平面所以

（Ⅲ）作于，連接，則

因為， ， ，因此平面，

因此平面，因此是在平面內的射影，

因此為與平面所成角，

， ，

中， ，于是

因此，

因此與平面所成角的正切為