Question

【題目】在 (n≥2)個實數組成的n行n列的數表中， 表示第i行第j列的數，記． 若｛-1,0,1} ()，且r1,r2,…,rn,c1,c2,..,cn，兩兩不等，則稱此表為“n階H表”，記

H={ r1,r2,…,rn,c1,c2,..,cn}.

(I）請寫出一個“2階H表”;

(II）對任意一個“n階H表”，若整數，且，求證： 為偶數；

(Ⅲ）求證：不存在“5階H表”.

Answer 1

【答案】（I）見解析;（II）見解析;（III）見解析.

【解析】試題分析：（I）由單一即可寫出；

（II）對任意一個“階表”， 表示第行所有數的和， 表示第列所有數的和

（），可知 . 進而得到 .所以 為偶數.

（III）假設存在一個“階表”，則由（II）知，且和至少有一個成立，不妨設.

設，則，于是，因而可設，

， .

分①若 3是某列的和，②若3是某行的和，討論均可得出矛盾，綜上，不存在“5階表”.

試題解析：

（I）;

（II）對任意一個“階表”， 表示第行所有數的和， 表示第列所有數的和

（）. 與均表示數表中所有數的和，所以 .

因為，所以只能取內的整數.

又因為互不相等， 且，

所以，

所以 .

所以 為偶數.

（III）假設存在一個“階表”，則由（II）知，且和至少有一個成立，不妨設.

設，則，于是，因而可設，

， .

①若 3是某列的和，由于，故只能是前四列某列的和，不妨設是第一列，即.現考慮，只能是或，不妨設，即，由兩兩不等知兩兩不等，不妨設，若則；若則；若則，均與已知矛盾.

②若3是某行的和，不妨設，則第4行至少有3個1，若這3個1是前四個中某三個數，不妨設，則第五行前三個數只能是3個不同的數，不妨設

，則矛盾，故第四行只能前四個數有2個1，第五個數為1，不妨設，所以，第五行只能是2個0，3個或1個1，4個.則至少有兩個數相同，不妨設，則與已知矛盾.

綜上，不存在“5階表”.