Question

【題目】已知函數 =（2sinx，cosx+sinx）， =（cosx，cosx﹣sinx），f（x）= ．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若關于x的方程f（x）﹣m=0（m∈R）在區間（0， ）內有兩個不相等的實數根x1 ， x2 ， 記t=mcos（x1+x2），求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，f（x）= =2sinxcosx+cos2x﹣sin2x

=cos2x+sin2x= ，

由 得，

由 得，

，

∴函數f（x）的單調遞增區間是 ，

單調遞減區間是 ，

（2）解：方程f（x）﹣m=0（m∈R）在（0， ）內有兩個不相等的實數根x1，x2，

轉化為直線y=m與曲線f（x）= 在（0， ）內有兩個不同的交點，

當x∈（0， ）時，由（Ⅰ）知，f（x）在（0， ）上遞增，在[ ，） 上遞減，

∴當x= 時，f（x）取到最大值f（ ）= = ，

又f（0）= =1，f（ ）= =﹣1，

∴m∈（1， ），

∵函數f（x）的圖象關于直線x= 對稱，

∴x1+x2=2× = ，則cos（x1+x2）= ，

又t=mcos（x1+x2），則實數t的取值范圍是（ ，1）．

【解析】（1）利用向量的數量積運算、二倍角公式，兩角和的正弦公式化簡解析式，由正弦函數的單調區間求出函數f（x）的單調區間；（2）先將方程根的問題轉化為兩個函數圖象交點問題，由x的范圍和（1）求出f（x）單調區間，端點處的函數值、最大值，結合條件求出m的范圍，由正弦函數圖象的對稱性求出x1+x2 ， 即可實數t的取值范圍．