Question

由動點P引圓x²+y²=10的兩條切線PA，PB，直線PA、PB的斜率分別為k₁、k₂．
（1）若k₁+k₂+k₁k₂=-1，求動點P的軌跡；
（2）若點P在x+y=m上，且PA⊥PB，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設P（x₀、y₀），
則|x₀|，且x₀²+y₀²≠10，切線l：y-y₀=k（x-x₀）．
由l與圓相切，得．
化簡整理得（x₀²-10）k²-2x₀y₀k+y₀²-10=0．
由韋達定理及k₁+k₂+k₁k₂=-1，得，化簡得x₀+y₀=±2．
即P點的軌跡方程為x+y±2=0．
（2）因為，點P（x₀、y₀）在x+y=m上，所以y₀=m-x₀．又PA⊥PB，
所以，k₁k₂=-1，即，將y₀=m-x₀代入化簡得2x₀²-2mx₀+m²-20=0．
由△≥0，得．經檢驗，m的取值范圍為．
分析：（1）設出點P的坐標，待定系數法給出切線的方程，與圓的方程聯立，消元得到關于k的一元二次方程，然后用根與系數的關系即可得到k₁+k₂與k₁k₂代入k₁+k₂+k₁k₂=-1即可得到點P的坐標滿足的軌跡方程．、
（2）點P（x₀、y₀）在x+y=m上，所以y₀=m-x₀．又PA⊥PB，所以，k₁k₂=-1由上題的結論知再將y₀=m-x₀代入即得關于m的方程，此方程有根，故可有判別式求出實數m的取值范圍．
點評：本題考查直線與圓的位置關系，求解第一問的關鍵是得到關于兩個斜率的一元二次方程，從而得到點P的坐標滿足的方程，第二問解題的關鍵是得到關于參數m的方程，通過所得的方程有解得到參數m的不等式解出其范圍，本題考查了轉化化歸的思想，做題時要注意此類思想的使用．