Question

已知圓O：x²+y²=1，圓C：（x-4）²+（y-4）²=1，由兩圓外一點P（a，b）引兩圓切線PA、PB，切點分別為A、B，如圖，滿足|PA|=|PB|；
（Ⅰ）將兩圓方程相減可得一直線方程l：x+y-4=0，該直線叫做這兩圓的“根軸”，試證點P落在根軸上；
（Ⅱ）求切線長|PA|的最小值；
（Ⅲ）給出定點M（0，2），設P、Q分別為直線l和圓O上動點，求|MP|+|PQ|的最小值及此時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）由|PA|=|PB|，知|PO|²=|PC|²?a²+b²=（a-4）²+（b-4）²，由此能夠導出點P（a，b）落在根軸l：x+y-4=0上；
（2）由|PA|²=|PO|²-1=a²+b²-1=a²+（4-a）²-1=2a²-8a+15=2（a-2）²+7，知當a=2時即P為（2，2）點時有|PA|2Min=7，|PA|Min=

7

．
（3）作M（0，2）關于直線L：x+y=4的對稱點N，求得N（2，4），連接NO則NO分別與直線L、圓O的交點即為使|PM|+|PQ|的值最小的點P、Q，由此能夠求出P點坐標．

解答：解：（1）|PA|=|PB|?|PO|²=|PC|²?a²+b²=（a-4）²+（b-4）²?a+b-4=0
即點P（a，b）落在根軸l：x+y-4=0上；（3分）
（2）|PA|²=|PO|²-1=a²+b²-1=a²+（4-a）²-1=2a²-8a+15=2（a-2）²+7
∴當a=2時即P為（2，2）點時有|PA|2Min=7，|PA|Min=

7

（6分）
（3）作M（0，2）關于直線L：x+y=4的對稱點N，求得N（2，4），連接NO則NO分別與直線L、圓O的交點即為使|PM|+|PQ|的值最小的點P、Q；（8分）
證明如下：
在L上任取不同于點P的P₁點，連接P₁O交圓O于Q₁，則|P₁M|+|P₁Q₁|=|P₁M|+|P₁O|-1=|P₁N|+|P₁O|-1＞|NO|-1，而|PM|+|PQ|=|PM|+|PO|-1=|PN|+|PO|-1=|NO|-1，故得證；（11分）
下求|PM|+|PQ|的最小值及點P的坐標：
（|PM|+|PQ|）_Min=|NO|-1=2

5

-1，
聯立ON與直線L的方程可得P(

4

3

，

8

3

)．（13分）

點評：本題考查圓的性質和應用，解題時要注意數形結合思想的運用和公式的合理選用．