Question

【題目】已知a∈R，f（x）=log2（1+ax）．

（1）求f（x2）的值域；

（2）若關于x的方程f（x）-log2[（a-4）x2+（2a-5）x]=0的解集恰有一個元素，求實數a的取值范圍；

（3）當a＞0時，對任意的t∈（，+∞），f（x2）在[t，t+1]的最大值與最小值的差不超過4，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當a≥0時，值域為[0，+∞），當a＜0時，值域為（-∞，0）； （2）1＜a≤2，或a＞4；

（3）（0，+∞）.

【解析】

（1）討論a≥0時，a＜0時，由對數函數的單調性可得值域；

（2）根據對數的運算法則進行化簡，轉化為一元二次方程，討論a的取值范圍進行求解即可；

（3）根據條件得到g（x）＝log2（1+ax2），a＞0，函數g（x）在區間[t，t+1]上單調遞增，g（t+1）﹣g（t）≤4，運用對數函數的單調性和參數分離進行求解即可．

（1）f（x）=log2（1+ax），可得f（x2）=log2（1+ax2），

當a≥0時，1+ax2≥1，即有log2（1+ax2）≥0；

當a＜0時，0＜1+ax21，即有log2（1+ax2）0；

即有當a≥0時，f（x）的值域為[0，+∞）；

當a＜0時，f（x）的值域為（-∞，0]；

（2）由f（x）-log2[（a-4）x2+（2a-5）x]=0得log2（1+ax）=log2[（a-4）x2+（2a-5）x]，

即1+ax=（a-4）x2+（2a-5）x＞0，①

則（a-4）x2+（a-5）x-1=0，

即（x+1）[（a-4）x-1]=0，②，

當a=4時，方程②的解為x=-1，代入①，不成立；

當a=3時，方程②的解為x=-1，代入①，不成立；

當a≠4且a≠3時，方程②的解為x=-1或x=，

若x=-1是方程①的解，則1-a=-a+1＞0，即a＜1，

若x=是方程①的解，則1+=＞0，即a＞4或a＜2，

則要使方程①有且僅有一個解，則a＞4或1≤a＜2．

綜上，若方程f（x）-log2[（a-4）x2+（2a-5）x]=0的解集中恰好有一個元素，

則a的取值范圍是1＜a≤2，或a＞4；

（3）當a＞0時，對任意的t∈（，+∞），

f（x2）=log2（1+ax2），

設g（x）=log2（1+ax2），a＞0，

函數g（x）在區間[t，t+1]上單調遞增，

由題意得g（t+1）-g（t）≤4，

即log2（1+at2+2at+a）-log2（1+at2）≤4，

即1+at2+2at+a≤16（1+at2），

即有a（15t2-2t-1）+15=a（3t-1）（5t+1）+15＞0恒成立，

綜上可得a的范圍是（0，+∞）．