Question

已知點P(

3

2

，1)在橢圓Q：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)上，且該橢圓的離心率為

1

2

．
（1）求橢圓Q的方程；
（2）若直線l與直線AB：y=-4的夾角的正切值為2，且橢圓Q上的動點M到直線l的距離的最小值為

5

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）依據橢圓的標準方程形式、橢圓的性質，利用待定系數法求方程．
（2）先確定直線的斜率，設出直線在y軸上的截距m，得到直線的方程，設出點M的坐標（參數式），利用點到直線的距離的最小值，求出m的值，從而得到直線方程．

解答：解：（1）依題意得：

e= c a = 1 2 a2=b2+c2 1 a2 + 9 4 b2 =1

．（2分）
解之得：a=2，c=1，b=

3

．
∴橢圓Q方程為：

y2

4

+

x2

3

=1．（4分）
（2）由已知可得，直線l的斜率為k=±2，（6分）
①若k=2，設l的方程是2x-y+m=0，
點M的坐標為(

3

cosθ，2sinθ)θ∈[0，2π）
則點M到直線l的距離為d=

|2 3 cosθ-2sinθ+m|

22+1

=

|m-4sin(θ- π 3 )|

5

，（8分）
若m＞0，則dmin=

|m-4|

5

=

5

，得m=9
若m＜0，則dmin=

|m+4|

5

=

5

，得m=-9
所以所求直線l的方程是2x-y+9=0或2x-y-9=0．（12分）
②若k=-2，類似①可得所以所求直線l的方程是2x+y+9=0或2x+y-9=0．（14分）
綜上所述，l的方程為2x-y+9=0或2x-y-9=0或2x+y+9=0或2x+y-9=0．

點評：本題考查橢圓的標準方程、點到直線的距離公式來解決最值問題，體現了分類討論的數學思想．