Question

已知點P (-1，  

3

2

)是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點，F₁、F₂分別是橢圓E的左、右焦點，O是坐標原點，PF₁⊥x軸．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設A、B是橢圓E上兩個動點，是否存在λ，滿足

PA

+

PB

=λ

PO

（0＜λ＜4，且λ≠2），且M（2，1）到AB的距離為

5

？若存在，求λ值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由PF₁⊥x軸，知F₁（-1，0），c=1，F₂（1，0），|PF₂|=

22+( 3 2 )2

=

5

2

，2a=|PF₁|+|PF₂|=4，a=2，b²=3，由此能求出橢圓E的方程．
（2）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

PA

+

PB

=λ

PO

得（x₁+1，y₁-

3

2

）+（x₂+1，y₂-

3

2

）=λ（1，-

3

2

），所以x₁+x₂=λ-2，y₁+y₂=

3

2

（2-λ），3x₁²+4y₁²=12，3x₂²+4y₂²=12，由此得3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

．設直線AB的方程為y=

1

2

x+t，與3x²+4y²=12聯立消去y并整理得x²+tx+t²-3=0，再由根的判別式和點到直線AB的距離公式知這樣的λ不存在．

解答：解：（1）∵PF₁⊥x軸，
∴F₁（-1，0），c=1，F₂（1，0），
|PF₂|=

22+( 3 2 )2

=

5

2

，2a=|PF₁|+|PF₂|=4，a=2，b²=3，
橢圓E的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；（4分）
（2）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

PA

+

PB

=λ

PO

得
（x₁+1，y₁-

3

2

）+（x₂+1，y₂-

3

2

）=λ（1，-

3

2

），
所以x₁+x₂=λ-2，y₁+y₂=

3

2

（2-λ）①（5分）
又3x₁²+4y₁²=12，3x₂²+4y₂²=12，
兩式相減得3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0②
以①式代入可得AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

（8分）
設直線AB的方程為y=

1

2

x+t，
與3x²+4y²=12聯立消去y并整理得x²+tx+t²-3=0，
△=3（4-t²）＞0，t∈（-2，2），x₁+x₂=-t=λ-2
點M到直線AB的距離為d=

2|t|

5

=

5

，∴t=±

5

2

∉(-2，2)（10分）
∵t=2-λ∴λ=

9

4

或-

1

2

不合題意．故這樣的λ不存在（12分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要靈活運用橢圓性質、點到直線距離公式、根的判別式、韋達定理，注意合理地進行等價轉化．