Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上不與左右頂點重合的任意一點，，分別為的內心、重心，當軸時，橢圓的離心率為( )

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

結合圖像，利用點坐標以及重心性質，得到G點坐標，再由題目條件軸，得到點橫坐標，然后兩次運用角平分線的相關性質得到的比值，再結合與相似，即可求得點縱坐標，也就是內切圓半徑，再利用等面積法建立關于的關系式，從而求得橢圓離心率.

如圖，令點在第一象限（由橢圓對稱性，其他位置同理），連接，顯然點在上，連接并延長交軸于點，連接并延長交軸于點，軸，過點作垂直于軸于點，

設點，，則，

因為為的重心，所以，

因為軸，所以點橫坐標也為，，

因為為的角平分線，

則有，

又因為，所以可得，

又由角平分線的性質可得，，而

所以得，

所以，，

所以，即，

因為

即，解得，所以答案為A.