Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，△ABC為等邊三角形，PA=2AB=2，AC⊥CD，PD與平面PAC所成角的余弦值為.

（1）證明：平面PAD；

（2）點M為PB上一點，且，試判斷點M的位置.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.（2）點M的位置是靠近P的四等分點.

【解析】

（1）由PA⊥平面ABCD,得PA⊥CD,求解三角形證明∠CAD=60°,結合∠BCA=60°,得到BC∥AD,由直線與平面平行的判定可得BC∥平面PAD；

（2）設,則VM﹣PCD=λVB﹣PCD=λVP﹣BCD,求出三棱錐P﹣BCD的體積,結合求得λ值,可得點M的位置.

（1）證明：∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,

又AC⊥CD,CA∩PA=A,∴CD⊥平面PAC,

∴PD與平面PAC所成角為∠DPC,

在Rt△PCD中,cos∠DPC,

在Rt△PAC中,∵PC,∴PD=2,

在Rt△PAD中,∵PA=2,∴AD=2,

在Rt△ACD中,求得∠CAD=60°.

又∠BCA=60°,∴在平面ABCD中,得到BC∥AD,

而AD平面PAD,BC平面PAD,

∴BC∥平面PAD；

（2）解：∵點M在PB上,設.

則VM﹣PCD=λVB﹣PCD=λVP﹣BCD,

∵,

∴,得.

∴點M的位置是靠近P的四等分點.