Question

【題目】已知函數(x)=xlnx,g(x)=ax3-.

(Ⅰ)求函數(x)的單調遞增區間和最小值；

(Ⅱ)若函數y= (x)與函數y =g(x)的圖象在交點處存在公共切線，求實數a的值。

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 見解析;(Ⅱ)a=.

【解析】試題分析：(Ⅰ)求出的導數，求得單調區間和極值，即可得最小值；(Ⅱ)設函數與函數的圖象在交點處存在公共切線，則根據切線的斜率相等以及交點在兩個函數的圖象上可得，列出方程組，結合（Ⅰ），即可求出實數的值.

試題解析：(Ⅰ)∵

∴，

∴當時，；當時，.

∴函數在上單調遞減,在上單調遞增.

∴所求函數的單調遞增區間為，最小值為.

(Ⅱ) 設函數與函數的圖象在交點處存在公共切線，則根據切線的斜率相等以及交點在兩個函數的圖象上可得， 即(*),變形得.

∴，化簡得

∴是方程的一個實數解.

又∵由(Ⅰ)易知方程有唯一的實數解，且該解為

∴，將之代入

∴