Question

【題目】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)做傾斜角為的120°的直線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，．

（1）求拋物線的方程；

（2）過拋物線焦點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸不垂直的直線l交拋物線于，兩點(diǎn)，，在拋物線上，且，，若，，，四點(diǎn)都在圓上，求圓的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）根據(jù)題意設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得，代入面積公式解得，進(jìn)而求出拋物線的方程；

（2）由（1）可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，表示出弦長，得其中點(diǎn)，再由，，可知為線段的中垂線，設(shè)其方程為，再聯(lián)立方程得弦長，再設(shè)中點(diǎn)為，再由，，，四點(diǎn)都在圓上，等價于，從而，解方程解即可.

（1）拋物線：的焦點(diǎn)為，

則過焦點(diǎn)傾斜角為120°的直線的方程為，

設(shè)，，

聯(lián)立方程，整理得

所以，，，，

由，解得．

故拋物線方程為．

（2）由題意可設(shè)的方程為，代入得．

設(shè)，，則，．

故的中點(diǎn)為，．因?yàn)?/span>

，，故直線為線段的垂直平分線，斜率為，

設(shè)其為，則方程為，

將上式代入，并整理得．

設(shè)，，則，．

設(shè)中點(diǎn)為，故，

．

由于直線為線段的垂直平分線，故，，，四點(diǎn)在同一圓上等價于

，從而，

即，

化簡得，解得或．

當(dāng)時，圓心為，，圓的方程為；

當(dāng)時，圓心為，，圓的方程為．