Question

（2010•江西模擬）設橢圓

x2

4

+

y2

3

=1長軸的兩端點為A₁，A₂，點P在直線l：x=4上，直線A₁P，A₂P分別與該橢圓交于M，N，若直線MN恰好過右焦點F，則稱P為“G點”，那么下列結論中，正確的是（　　）

A．直線l上的所有點都是“G點”

B．直線l上僅有有限個“G點”

C．直線l上的所有點都不是“G點”

D．直線l上有無窮多個點（不是所有的點）是“G點”

Answer 1

分析：設P（4，b）．求出直線A₁P，A₂P的方程．與橢圓方程聯立，解出M，N的坐標   若MF1，MF2的斜率相等，則直線上的所有點都是G點．

解答：解：A₁（-2，0），A₂ （2，0）設P（4，b），
由直線的點斜式方程得到直線A₁P：y=

b

6

（x+2）與橢圓方程聯立，
消去y得：(3+

b2

9

)x2+

4b2

9

x+

4b2

9

-12=0，
由韋達定理，x₁+x₂=-

4b2

27+b2

 又-2是此方程的一個解，
得M的橫坐標是

54-2b2

27+b2

，
代入直線A₁P從而縱坐標

18b

27+b2

．同理N（

2b2-6

3+b2

，

-6b

3+b2

）．
根據兩點直線斜率公式，k_MF1=K_MF2．
∴M，F1，F2，三點始終共線直線MN始終過右焦點F．
故選A．

點評：本題首先明確G點的新定義．在題目中使得直線MN恰好過右焦點，使問題轉化成三點是否共線的問題．