Question

（2010•江西模擬）在正三棱錐S-ABC中，M為棱SC上異于端點的點，且SB⊥AM，若側棱SA=

3

，則正三棱錐S-ABC的外接球的表面積是

9π

．

Answer 1

分析：根據三棱錐為正三棱錐，可證明出AC⊥SB，結合SB⊥AM，得到SB⊥平面SAC，因此可得SA、SB、SC三條側棱兩兩互相垂直．最后利用公式求出外接圓的直徑，結合球的表面積公式，可得正三棱錐S-ABC的外接球的表面積．

解答：解：取AC中點，連接BN、SN
∵N為AC中點，SA=SC
∴AC⊥SN，同理AC⊥BN，
∵SN∩BN=N
∴AC⊥平面SBN
∵SB?平面SBN
∴AC⊥SB
∵SB⊥AM且AC∩AM=A
∴SB⊥平面SAC⇒SB⊥SA且SB⊥AC
∵三棱錐S-ABC是正三棱錐
∴SA、SB、SC三條側棱兩兩互相垂直．
∵側棱SA=

3

，
∴正三棱錐S-ABC的外接球的直徑為：2R=

SA2+SB2+SC2

=3
外接球的半徑為R=

3

2

∴正三棱錐S-ABC的外接球的表面積是S=4πR²=9π
故答案為9π

點評：本題以正三棱錐中的垂直關系為例，考查了空間線面垂直的判定與性質，以及球內接多面體等知識點，屬于中檔題．