Question

【題目】已知函數．

（1）當時,求在點處的切線方程;

（2）若對于任意的,恒有成立,求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題本題主要考查導數的運算、利用導數求曲線的切線、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的最值等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力．第一問，對求導，是切點的縱坐標，是切線的斜率，利用點斜式列出切線方程；第二問，先將對于任意的,恒有成立，轉化為，對求導，再構造函數，利用的正負，判斷的單調性，從而確定，繼續將題目轉化為恒成立，通過整理，需證明的取值范圍，從而解出a的取值范圍．

試題解析：（1）當時，，

∴，∴，

∵，

∴在點處的切線方程為：．

（Ⅱ）∵ ∴

令,則

∴在上遞增

∵,當時, ∴存在,使,

且在上遞減 ,在上遞增

∵ ∴,即

∵對于任意的,恒有成立

∴ ∴

∴ ∴ ∴

∵ ∴

令,而,當時,

∴存在,使

∵在上遞增,∴

∴

∵在上遞增 ∴

∴ ∴．