Question

【題目】在平面直角坐標系中，經過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點和．

（1）求的取值范圍；

（2）設橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為，是否存在常數，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）沒有

【解析】解：(1)由已知條件知直線l的方程為

y＝kx＋，

代入橢圓方程得＋(kx＋)2＝1.

整理得x2＋2kx＋1＝0.①

直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，

解得k<－或k>，

即k的取值范圍為∪.

(2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，

由方程①得x1＋x2＝－.②

又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝，③

而A(，0)，B(0,1)，＝(－，1)，

所以＋與共線等價于x1＋x2＝－(y1＋y2)．

將②③代入上式，解得k＝.

由(1)知k<－或k>，故沒有符合題意的常數k.