Question

【題目】如圖，已知橢圓C：的離心率為，并且橢圓經過點P(1，)，直線l的方程為x＝4．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知橢圓內一點E(1，0)，過點E作一條斜率為k的直線與橢圓交于A，B兩點，交直線l于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3．問：是否存在常數，使得k1＋k2＝k3？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) .

(2) 存在，使得．

【解析】

(1)根據已知得到a,b的方程組，解方程組即得橢圓的方程.(2) 設直線的方程為：，利用韋達定理求出，，即得和的值.

（1）因為橢圓的離心率為，所以，

又橢圓過點，所以，

所以，，所以橢圓方程為．

（2）設直線的方程為：，令，則，所以點，

設，

所以

．

由，可得．

所以，，

所以 ．

又因為，所以，

所以存在，使得．