Question

已知函數f(x)=loga(3-ax2)在[0，3]上單調遞增，則實數a的取值范圍為______．

Answer 1

設μ=3-ax²，
則原函數f（x）=log_a（3-ax²）是函數：y=log_aμ，μ=3-ax²的復合函數，
①當a＞1時，y=log_au在（0，+∞）上是增函數，
而函數μ=3-ax²在[0，3]上是減函數，
根據復合函數的單調性，得函數f（x）在[0，3]上單調遞減，與題意不符；
②當0＜a＜1時，y=log_au在（0，+∞）上是減函數，
函數μ=3-ax²在[0，3]上是減函數，
根據復合函數的單調性，得函數f（x）在[0，3]上單調遞增，
且μ=3-ax²＞0在[0，3]上恒成立，
所以有

0＜a＜1 3-a•32＞0

，解得0＜a＜

1

3

．
綜①②，得實數a的取值范圍為（0，

1

3

）．
故答案為：（0，

1

3

）．