Question

【題目】已知橢圓：的左、右頂點分別為，，右焦點為，且上的動點到的距離的最大值為4，最小值為2.

（1）證明：.

（2）若直線：與相交于，兩點（，均不與，重合），且，試問是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過，求出此定點坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.

【解析】

（1）根據(jù)題意，可得，即可解得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)，表示出，，利用坐標(biāo)法表示，由，即可證明；

（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理可得根與系數(shù)的關(guān)系，由，運(yùn)用坐標(biāo)相乘可得，解出與的關(guān)系，進(jìn)行判斷即可得出結(jié)論.

解：（1）證明：由題意可得，解得，

則，故的方程為.

設(shè)，則.

∵，，

∴，

∵，∴.

（2）解：設(shè)，，聯(lián)立，得

，

則，即，且，，

∴.

∵，，∴，

，即，

所以或.

當(dāng)時，直線為，此時過定點，不合題意；

當(dāng)時，直線為，此時直線過定點.