Question

【題目】已知數列的前項和為，滿足，，數列滿足，，且.

（1）求數列的通項公式；

（2）求證：數列是等差數列，求數列的通項公式；

（3）若，數列的前項和為，對任意的，都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明； （3）

【解析】

（1）根據數列的通項公式與前n項和之間的關系，求得，得到數列為首項，公比的等比數列，即可求解．

(2)由，化簡得，得到數列為首項為，公差為的等差數列，求得，即可求解．

（3）由（2）得，利用乘公比錯位相減法，求得，再由（1）得，又由對，都有恒成立，得恒成立，即可求解．

（1）由題意，當時，，所以，

當時，，，

兩式相減得，又，所以，

從而數列為首項，公比的等比數列，

從而數列的通項公式為．

(2)由兩邊同除以，得，

從而數列為首項，公差的等差數列，所以，

從而數列的通項公式為．

（3）由（2）得，

于是，

所以，

兩式相減得，

所以，

由（1）得，

因為對，都有，即恒成立，

所以恒成立，

記，所以，

因為，從而數列為遞增數列，

所以當時，取最小值，于是.