Question

已知函數為奇函數.
（1）求常數的值；
（2）判斷函數的單調性，并說明理由；
（3）函數的圖象由函數的圖象先向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到，寫出的一個對稱中心，若，求的值.

Answer 1

（1）；（2）減函數，證明見解析；（3）對稱中心，．

試題分析：（1）本題唯一的條件是為奇函數，故其定義域關于原點對稱，通過求函數的定義域可求得，當然這時還要根據奇函數的定義驗證確實是奇函數；（2）要判斷函數的單調性，可根據復合函數單調性的性質確定，然后再根據定義證明，而函數為奇函數，故只要判斷函數在區間上的單調性即可，變形為可得在是遞減，當然它在上也是遞減的，然后用單調性定義田加以證明；（3）為奇函數，它的對稱中心為，的圖象是由的圖象平移過去的，因此對稱中心也相應平移，即對稱中心為，函數的圖象對稱中心為，則有性質：，因此本題是有，即.
試題解析：(1)因為函數為奇函數，所以定義域關于原點對稱，由，得
，所以.                       2分
這時滿足，函數為奇函數，因此       4分
（2）函數為單調遞減函數.
法一:用單調性定義證明；
法二：利用已有函數的單調性加以說明.
在上單調遞增，因此單調遞增，又在及上單調遞減，因此函數在及上單調遞減；
法三：函數定義域為，說明函數在上單調遞減，因為函數為奇函數，因此函數在上也是單調遞減，因此函數在及上單調遞減.
10分
（本題根據具體情況對照給分）
（3）因為函數為奇函數，因此其圖像關于坐標原點（0,0）對稱，根據條件得到函數的一個對稱中心為，                              13分
因此有，因為，因此 16分