Question

【題目】已知函數f（x）=ex（sinx+cosx）．
（1）如果對于任意的x∈[0， ]，f（x）≥kx+excosx恒成立，求實數k的取值范圍；
（2）若x∈[﹣ ， ]，過點M（ ，0）作函數f（x）的圖象的所有切線，令各切點的橫坐標按從小到大構成數列{xn}，求數列{xn}的所有項之和．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=ex（sinx+cosx），

可得g（x）=f（x）﹣kx﹣excosx=exsinx﹣kx，

要使任意的x∈[0， ]，f（x）≥kx+excosx恒成立，

只需當x∈[0， ]時，g（x）min≥0，g′（x）=ex（sinx+cosx）﹣k，

令h（x）=ex（sinx+cosx），則h′（x）=2excosx≥0對x∈[0， ]時恒成立，

∴h（x）在x∈[0， ]上是增函數，則h（x）∈[1，e ]，

①當k≤1時，g′（x）≥0恒成立，g（x）在x∈[0， ]上為增函數，

∴g（x）min≥g（0）=0，∴k≤1滿足題意；

②當1＜k＜e 時，g′（x）=0在x∈[0， ]上有實根x0，h（x）在x∈[0， ]上是增函數，

則當x∈[0，x0）時，g′（x）＜0，∴g（x0）＜g（0）=0不符合題意；

③當k≥e 時，g′（x）≤0恒成立，g（x）在x∈[0， ]上為減函數，

∴g（x）＜g（0）=0不符合題意，

∴k≤1，即k∈（﹣∞，1]

（2）解：函數f（x）=ex（sinx+cosx），

∴f′（x）=2excosx，

設切點坐標為（x0，ex0（sinx0+cosx0）），

則切線斜率為f′（x0）=2ex0cosx0，

從而切線方程為y﹣ex0（sinx0+cosx0）=2ex0cosx0（x﹣x0），

∴﹣ex0（sinx0+cosx0）=2ex0cosx0（ ﹣x0），

即tanx0=2（x0﹣ ），令y1=tanx，y2=2（x﹣ ），

這兩個函數的圖象關于點（ ，0）對稱，

則它們交點的橫坐標關于x= 對稱，

從而所作的所有切線的切點的橫坐標構成數列{xn}的項也關于x= 成對出現，

又在[﹣ ， ]內共有1008對，每對和為π，

∴數列{xn}的所有項之和為1008π

【解析】（1）由題意可得任意的x∈[0， ]，f（x）≥kx+excosx恒成立，只需當x∈[0， ]時，g（x）min≥0，求出g′（x），令h（x）=ex（sinx+cosx），求出導數，可得h（x）的單調性，及值域，討論k≤1時，1＜k＜e 時，當k≥e 時，由單調性確定最小值，即可得到所求k的范圍；（2）求出f（x）的導數，設切點坐標為（x0 ， ex0（sinx0+cosx0）），可得切線的斜率和方程，代入M（ ，0），可得tanx0=2（x0﹣ ），令y1=tanx，y2=2（x﹣ ），這兩個函數的圖象關于點（ ，0）對稱，即可得到所求數列{xn}的所有項之和．