Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等邊三角形，側面AA1B1B為正方形，且AA1⊥平面ABC，D為線段AB上的一點．
（Ⅰ） 若BC1∥平面A1CD，確定D的位置，并說明理由；
（Ⅱ） 在（Ⅰ）的條件下，求二面角A1D﹣C﹣BC1的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）D為AB的中點，理由如下： 連接AC1 ， 交A1C于點E，可知E為AC1的中點，連接DE，
因為BC1∥平面A1CD，
平面ABC1∩平面A1CD=DE，
所以BC1∥DE，
故D為AB的中點．
（Ⅱ）不妨設AB=2，分別取BC，B1C1的中點O，O1 ， 連接AO，OO1 ， 可知OB，OO1 ， OA兩兩互相垂直，建立如圖的空間直角坐標系O﹣xyz．

知 ，
則 ， ，
設面A1CD的法向量m=（x，y，z），
由 得
令x=1，得A1CD的一個法向量為 ，
又平面BCC1的一個法向量n=（0，0，1），
設二面角A1D﹣C﹣BC1的平面角為α，
則 ．
即該二面角的余弦值為 ．
【解析】（Ⅰ）D為AB的中點，理由如下：連接AC1 ， 交A1C于點E，可知E為AC1的中點，連接DE，利用線面平行的性質定理、三角形中平行線的性質即可得出．（Ⅱ）不妨設AB=2，分別取BC，B1C1的中點O，O1 ， 連接AO，OO1 ， 可知OB，OO1 ， OA兩兩互相垂直，建立如圖的空間直角坐標系O﹣xyz．利用線面垂直的性質定理、向量垂直與數量積的關系可得：平面A1CD的法向量 ，又平面BCC1的一個法向量 =（0，0，1），利用向量夾角公式即可得出．