Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）2-2cos2x，

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）當(dāng)x∈時(shí)，求f（x）的最大值和最小值

Answer 1

【答案】(1) 單調(diào)遞減區(qū)間[π+Kπ，7π/8+Kπ] k∈Z ;(2) f(x)的最大值是，f(x)的最小值是-1..

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)二倍角公式與配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）先根據(jù)x∈，確定正弦函數(shù)自變量取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最值

試題解析：由題設(shè)得：f(x)=(sinx+cosx)-2cosx

=1+2sinxcosx-2cosx

=1+sin2x-(1+cos2x)

=sin2x-cos2x=sin(2x-)

(1)最小正周期T=π，

+2Kπ≤2x-≤+2Kπ k∈Z

π+2Kπ≤2x≤π+2Kπ

π+Kπ≤x≤7π/8+Kπ

單調(diào)遞減區(qū)間[π+Kπ，7π/8+Kπ] k∈Z，

(2)0≤x≤,0≤2x≤π,- ≤2x -≤π- =π

當(dāng)2x - = 即x＝π時(shí)，f(x)有最大值

此時(shí)f(x)在[0，π]是增函數(shù)，在 [π，]是減函數(shù)

所以f(x)的最大值是，f(x)的最小值是-1.