Question

【題目】如圖，在四棱柱為長(zhǎng)方體，點(diǎn)是上的一點(diǎn).

（1）若為的中點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，平面平面；

（2）若， ，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值是否存在最大值？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）時(shí)， 取得最大值1.

【解析】試題分析：（1）要使平面平面，只需平面.，只需，只需，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，所以；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出直線(xiàn)與平面所成角的正弦，利用二次函數(shù)求其最大值即可.

試題解析：（1）要使平面平面，只需平面.

因?yàn)樗睦庵?/span>為長(zhǎng)方體，

所以平面，所以.

又因?yàn)?/span>，所以只需，

只需，只需∽，

因?yàn)?/span>，所以只需，

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，所以.

所以當(dāng)時(shí)，平面平面.

（2）存在.理由如下：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，

由得，則，

設(shè)平面的法向量為，則，

所以，取，則，

所以，

設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，

則

令，則， ，

所以

所以當(dāng)，即，時(shí)， 取得最大值1.