Question

【題目】已知拋物線，焦點為，點在拋物線上，且到的距離比到直線的距離小1.

（1）求拋物線的方程；

（2）若點為直線上的任意一點，過點作拋物線的切線與，切點分別為，求證:直線恒過某一定點.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)拋物線定義可得直線為拋物線的準線，即得，（2）關(guān)鍵求出直線AB方程，先設(shè)切點的坐標，利用導數(shù)幾何意義可得切線斜率，進而根據(jù)點斜式可得切線方程，求兩切線方程交點可得點坐標，由于點在直線上，所以可得.最后聯(lián)立AB方程與拋物線方程，利用韋達定理得，即得直線恒過定點.

試題解析：（1）因為到的距離與到直線的距離相等，由拋物線定義知，直線為拋物線的準線，所以，得,所以拋物線的方程為.

（2）設(shè)切點的坐標分別為，由(1)知， .

則切線的斜率分別為,,

故切線 的方程分別為, ,

聯(lián)立以上兩個方程，得故的坐標為.

因為點在直線上，所以，即.

設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，得，所以，即，所以.

故的方程為,故直線恒過定點.