Question

【題目】在極坐標系中，曲線的極坐標方程為.現以極點為原點，極軸為軸的非負半軸建立平面直角坐標系，直線的參數方程為(為參數).

（1）求曲線的直角坐標系方程和直線的普通方程；

（2）點在曲線上，且到直線的距離為，求符合條件的點的直角坐標.

Answer 1

【答案】(1),;(2), ,,.

【解析】

(1) 兩邊同時乘以,結合 即可求解;對于直線,消除參數即可得普通方程.

(2)由題意求出曲線的參數方程為,由到直線的距離為,可知,整理后可求出 的值,從而可得答案.

解:(1)由曲線的極坐標方程為,則

即,得其標準方程為.

直線參數方程為(為參數),則其普通方程為.

(2)由(1)得曲線為圓心為,半徑為5的圓,曲線的參數方程為

(為參數),則,化簡為

可得或.

當時,注意到,聯立方程組得

或,此時對應的點坐標為.

當時,同理可得或,即點坐標為.

綜上,符合條件的點坐標為.