Question

【題目】已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).

（1）求的取值范圍；

（2）試比較與的大小，并說明理由；

（3）設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，證明.

Answer 1

【答案】(1)；（2）；理由見解析；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)可知方程有兩個(gè)不等正根，將問題轉(zhuǎn)化為與在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)；利用過一點(diǎn)曲線的切線的求解方法可求出過原點(diǎn)與相切的直線的斜率，從而可得，解不等式求得結(jié)果；（2）令，求導(dǎo)后可知在上單調(diào)遞減，從而可得，化簡可得；（3）易知是方程的兩根，令，可整理得到，從而將所證不等式化為，采用換元的方式可知只需證，恒成立；構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)可知在上單調(diào)遞增，可得，進(jìn)而證得結(jié)論.

（1）由題意得：定義域?yàn)?/span>；

在上有兩個(gè)不同極值點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)不等正根

即：與在有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

設(shè)過的的切線與相切于點(diǎn)

則切線斜率，解得：

過的的切線的斜率為：

，解得：

即的取值范圍為：

（2）令，則

時(shí)，；時(shí)，

在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減

，即：

即：

（3）由（1）知，是方程的兩根

即：，

設(shè)，則

原不等式等價(jià)于：

即：

設(shè)，則，只需證：，

設(shè)，

在上單調(diào)遞增

即在上恒成立

所證不等式成立