Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，DC∥AB，PA=1，AB=2，PD=BC= ．
（1）求證：平面PAD⊥平面PCD；
（2）試在棱PB上確定一點E，使截面AEC把該幾何體分成的兩部分PDCEA與EACB的體積比為2：1；
（3）在（2）的條件下，求二面角E﹣AC﹣P的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD⊥AB，DC∥AB，∴DC⊥AD，

∵PA⊥平面ABCD，DC平面ABCD，∴DC⊥PA，

∵AD∩PA=A，∴DC⊥平面PAD，

∵DC平面PCD，

∴平面PAD⊥平面PCD

（2）解：作EF⊥AB于F點，

在△ABP中，PA⊥AB，∴EF∥PA，

∴EF⊥平面ABCD，

設EF=h，AD= =1， ，

則 ，

= = ，

由VPDCEA：VEACB=2：1，得（ ）： =2：1，解得h= ，

EF= PA，故E為PB的中點

（3）解：連結FC，FD，FD與AC交于點O，連結OE，

由（2）知EF⊥平面ABCD，∴EF⊥AC，

∵ADCF為正方形，∴FO⊥AC，

∵FO∩EF=F，

∴AC⊥平面EFO，∴EO⊥AC，

∴∠EOF是二面角E﹣AC﹣B的平面角，

∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD，

∴二面角E﹣ACB與二面角E﹣AC﹣P互余，

設二面角E﹣AC﹣P的平面角為θ，

則cosθ=sin∠EOF，

在Rt△EOF中，EF= ，FO= ，EO= ，

cosθ=sin ，

∴二面角E﹣AC﹣P的余弦值為

【解析】（1）推導出DC⊥AD，DC⊥PA，由此能證明平面PAD⊥平面PCD．（2）作EF⊥AB于F點，則EF⊥平面ABCD，設EF=h，由VPDCEA：VEACB=2：1，解得h= ，從而得到E為PB的中點．（3）連結FC，FD，FD與AC交于點O，連結OE，推導出EF⊥AC，FO⊥AC，EO⊥AC，從而∠EOF是二面角E﹣AC﹣B的平面角，由二面角E﹣ACB與二面角E﹣AC﹣P互余，能求出二面角E﹣AC﹣P的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關知識，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．