Question

【題目】如圖，直棱柱中，分別是的中點，，

（1）證明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連接AC1，交A1C于點F，則F為AC1的中點，連接DF，則BC1∥DF，由此能證明BC1∥平面A1C．

（2）以C為坐標原點，CA、CB、CC1為x軸、y軸、z軸建立空間坐標系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．

（1）如圖，連接交于點F，則點F為的中點，連接.

因為D是的中點，

所以在中，是中位線，

所以.

因為平面，平面，

所以平面.

（2）因為，

所以，即.

則以C為坐標原點，分別以，，為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，

則，，，

則，，.

設是平面的一個法向量，

則，即，

取，則，，

則.

設是平面的一個法向量，

則，即，

取，則，，

則.

所以，

所以，

即二面角的正弦值為.