Question

【題目】銷售甲種商品所得利潤是萬元，它與投入資金萬元的關系有經驗公式；銷售乙種商品所得利潤是萬元，它與投入資金萬元的關系有經驗公式，其中，為常數．現將3萬元資金全部投入甲、乙兩種商品的銷售；若全部投入甲種商品，所得利潤為萬元；若全部投入乙種商品，所得利潤為1萬元，若將3萬元資金中的萬元投入甲種商品的銷售，余下的投入乙種商品的銷售，則所得利潤總和為萬元．

（1）求函數的解析式；

（2）怎樣將3萬元資金分配給甲、乙兩種商品，才能使所得利潤總和最大，并求最大值．

Answer 1

【答案】（1），；

（2）故對甲種商品投資2萬元，對乙種商品投資為1萬元，才能使所得利潤總和最大，最大值為萬元．

【解析】

（1）因為對甲種商品投資萬元，所以對乙種商品投資為萬元，由題意知：，代值計算即可．

（2）轉化成一個基本不等式的形式，最后結合基本不等式的最值求法得最大值，從而解決問題．

解：（1）因為對甲種商品投資萬元，所以對乙種商品投資為萬元

由題意知：，

當時，，當時，，

則，解得，，

則，，

（2）由（1）可得

，當且僅當時取等號，

故對甲種商品投資2萬元，所以對乙種商品投資為1萬元，才能使所得利潤總和最大，最大值為萬元．