Question

【題目】已知O為坐標原點，，，直線AG，BG相交于點G，且它們的斜率之積為.記點G的軌跡為曲線C.

（1）若射線與曲線C交于點D，且E為曲線C的最高點，證明：.

（2）直線與曲線C交于M，N兩點，直線AM，AN與y軸分別交于P，Q兩點.試問在x軸上是否存在定點T，使得以PQ為直徑的圓恒過點T？若存在，求出T的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析； （2）存在定點，使得以PQ為直徑的圓恒過點T.

【解析】

（1）設點，根據，求得點的軌跡方程為，聯立方程組，解答坐標，結合斜率公式，即可求解.

（2）設，則，解得,，假設頂點T，使得PQ為直徑的圓恒過點T，則，求得，即可得到結論.

（1）設點，因為，即，

整理得點的軌跡方程為，

聯立方程組，解得且，

所以，所以.

（2）設，則，

所以直線AM的方程為，令，解得,

同理可得,

假設定點T，使得PQ為直徑的圓恒過點T，則,即，

又由，可得，所以，

即在x軸上存在定點，使得以PQ為直徑的圓恒過點T.