Question

（2013•門頭溝區一模）定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數f（x），如果對于任意給定的等比數列{a_n}，{f（a_n）}仍是等比數列，則稱f（x）為“等比函數”．現有定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數：
①f（x）=2^x；
②f（x）=log₂|x|；
③f（x）=x²；
④f（x）=ln2^x，
則其中是“等比函數”的f（x）的序號為

③④

．

Answer 1

分析：根據新定義“保比等比數列”，結合等比數列中項的定義a_n•a_n+2=a_n+1²，逐一判斷四個函數，即可得到結論．

解答：解：由等比數列性質知a_n•a_n+2=a_n+1²，
①當f（x）=2^x時，f（a_n）f（a_n+2）=2^a_n•2^a_n+2=2^a_n+a_n+2≠2^2a_n+1=f²（a_n+1），故①不正確；
②f（a_n）f（a_n+2）=log₂|a_n|log₂|a_n+2|≠log₂|a_n+1|²=f²（a_n+1），故②不正確；
③當f（x）=x²時，f（a_n）f（a_n+2）=a_n²a_n+2²=（a_n+1²）²=f²（a_n+1），故③正確；
④f（a_n）f（a_n+2）=a_nln2•a_n+2ln2=a_n+1²ln²2=f²（a_n+1），故④正確；
故答案為：③④．

點評：本題考查等比數列性質及命題的真假判斷與應用，正確運算，理解新定義是解題的關鍵．