Question

（2013•門頭溝區一模）已知數列{A_n}的前n項和為S_n，a₁=1，滿足下列條件
①?_n∈N^*，a_n≠0；
②點P_n（a_n，S_n）在函數f（x）=

x2+x

2

的圖象上；
（I）求數列{a_n}的通項a_n及前n項和S_n；
（II）求證：0≤|P_n+1P_n+2|-|P_nP_n+1|＜1．

Answer 1

分析：（I）由題意Sn=

an2+an

2

，當n≥2時a_n=S_n-S_n-1，由此可得兩遞推式，分情況可判斷數列{a_n}為等比數列或等差數列，從而可求得通項a_n，進而求得S_n；
（II）分情況討論：當當a_n+a_n-1=0時，Pn((-1)n-1，

1-(-1)n

2

)，計算可得|P_n+1P_n+2|=|P_nP_n+1|=

5

，從而易得|P_n+1P_n+2|-|P_nP_n+1|的值；當a_n-a_n-1-1=0時，Pn(n，

n2+n

2

)，利用兩點間距離公式可求得|P_n+1P_n+2|，|P_nP_n+1|，對|P_n+1P_n+2|-|P_nP_n+1|化簡后，再放縮即可證明結論；

解答：（I）解：由題意Sn=

an2+an

2

，
當n≥2時a_n=S_n-S_n-1=

an2+an

2

-

an-12+an-1

2

，
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
又?n∈N^*，a_n≠0，所以a_n+a_n-1=0或a_n-a_n-1-1=0，
當a_n+a_n-1=0時，a₁=1，

an

an-1

=-1，
得an=(-1)n-1，Sn=

1-(-1)n

2

；
當a_n-a_n-1-1=0時，a₁=1，a_n-a_n-1=1，
得a_n=n，Sn=

n2+n

2

．
（II）證明：當a_n+a_n-1=0時，Pn((-1)n-1，

1-(-1)n

2

)，
|P_n+1P_n+2|=|P_nP_n+1|=

5

，所以|P_n+1P_n+2|-|P_nP_n+1|=0，
當a_n-a_n-1-1=0時，Pn(n，

n2+n

2

)，
|P_n+1P_n+2|=

1+(n+2)2

，|P_nP_n+1|=

1+(n+1)2

，
|P_n+1P_n+2|-|P_nP_n+1|=

1+(n+2)2

-

1+(n+1)2

=

1+(n+2)2-1-(n+1)2

1+(n+2)2 + 1+(n+1)2

=

2n+3

1+(n+2)2 + 1+(n+1)2

，
因為

1+(n+2)2

＞n+2，

1+(n+1)2

＞n+1，
所以0＜

2n+3

1+(n+2)2 + 1+(n+1)2

＜1，
綜上0≤|P_n+1P_n+2|-|P_nP_n+1|＜1．

點評：本題考查數列與函數的綜合，考查分類討論思想，解決本題的關鍵是利用a_n與S_n的關系先求得a_n．