Question

【題目】已知定義在R上的奇函數f（x），當x≥0時，f（x）＝x2﹣x．

（1）求函數f（x）的解析式；

（2）若函數g（x）（x≠0），求證：函數g（x）在（0，+∞）單調遞增．

Answer 1

【答案】（1）f（x）．（2）證明見解析

【解析】

（1）設x＜0，則﹣x＞0，則f（﹣x）＝x2+x，利用函數的奇偶性即可求解.

（2）根據函數單調性定義即可證明.

（1）若x＜0，則﹣x＞0，

則f（﹣x）＝x2+x，

∵f（x）是奇函數，∴f（﹣x）＝x2+x＝﹣f（x），

即f（x）＝﹣x2﹣x，

即f（x）．

（2）證明：當x＞0時，g（x）x﹣1，

設0＜x1＜x2，

則g（x1）﹣g（x2）＝x1x2（x1﹣x2）（1），

∵0＜x1＜x2，

∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，

則g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），

則函數g（x）在（0，+∞）為增函數．