Question

在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，A(－2,0)，B(2,0)，點P為動點，且直線AP與直線BP的斜率之積為－.
(1)求動點P的軌跡C的方程；
(2)過點D(1,0)的直線l交軌跡C于不同的兩點M，N，△MON的面積是否存在最大值？若存在，求出△MON的面積的最大值及相應的直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）＝1(x≠±2)（2），x＝1

(1)設P點的坐標為(x，y)．
∵A(－2,0)，B(2,0)，直線AP與直線BP的斜率之積為－，
∴＝－(x≠±2)．
化簡整理得P點的軌跡C的方程為＝1(x≠±2)．
(2)依題意可設直線l的方程為x＝ny＋1.
由得(3n²＋4)y²＋6ny－9＝0.
設M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，則y₁＋y₂＝，y₁y₂＝－.
△MON的面積S＝|OD|·|y₁－y₂|＝＝.
令t＝，則t≥1，且3t＋在[1，＋∞)上單調遞增，
∴當t＝1時，3t＋取得最小值4，S取得最大值，
此時直線的方程為x＝1.